4 основных положения гюйгенса френеля. Kvant

Принцип Гюйгенса

Обосновывая волновую теорию света, Гюйгенс предложил принцип, который позволял наглядно решать некоторые задачи распространения и преломления света. Смысл его в том, что: Если в какой - либо момент времени известен световой волновой фронт, то для того, чтобы определить его положение через некоторый промежуток времени равный $\ \triangle t$, то каждую точку фронта следует рассматривать как источник сферической волны, построить вокруг такого вторичного источника волн сферу, имеющую радиус $c\triangle t$, где $c$ - скорость света в вакууме. При этом поверхность, которая огибает вторичные сферические волны, будет являться фронтом исходной волны через заданный промежуток времени $\triangle t$.

По физическому содержанию принцип Гюйгенса выражает взгляд на свет как непрерывный процесс в пространстве. При использовании принципа Гюйгенса можно объяснить почему, волны света попадают в область геометрической тени.

Основной проблемой принципа Гюйгенса является то, что он не учитывает явления интерференции света. Этот принцип не дает сведений об амплитуде и интенсивности волн.

Принцип Гюйгенса - Френеля, его аналитическое выражение

Определение 1

Френель развил принцип Гюйгенса, и это положение стало формулироваться так: Любая точка, принадлежащая волновому фронту, превращается в источник вторичных волн (это из принципа Гюйгенса), при этом вторичные источники являются когерентными между собой и испускаемые ими вторичные волны интерферируют. Для поверхности, совпадающей с волновой поверхностью, мощности вторичного излучения равных по площади участков одинаковы. Причем свет, распространяющийся от каждого вторичного источника идет в направлении внешней нормали.

Рэлей обобщил вышеназванный принцип:

Окружим все $S_1,S_2,S_3,\dots $ замкнутой поверхностью $(F)$ произвольной формы. При этом любую точку поверхности $F$ можно считать вторичным источником волн, которые распространяются по всем направлениям. Данные волны когерентны, так как возбуждены одними и теми же первичными источниками. Световое поле, которое появляется, как результат их пространственной интерференции, за пределами поверхности $F$ совпадает с полем реальных источников света.

Так, реальные источники света можно заменить светящейся поверхностью, которая их окружает. Причем, по всей этой поверхности как бы непрерывно распределены когерентные вторичные источники световых волн. Отличие этой гипотетической поверхности в том, что она прозрачна относительно любого излучения.

Предположим, что источник света монохроматический, среда однородная и изотропная. Таким образом, в соответствии со скорректированным принципом каждый элемент поверхности волны $S$ (рис.1) является источником вторичной сферической волны, имеющей амплитуду пропорциональную размерам данного элемента ($dS$).

Рисунок 1.

От любого участка $dS$ волновой поверхности в точку $А$ (рис.1), которая находится перед поверхностью $S$, приходит колебание, которое можно описать следующим уравнением:

где $\left(\omega t+{\alpha }_0\right)$ - фаза колебаний в месте нахождения поверхности $S$, $k$ - волновое число, $r$ - расстояние от элемента поверхности ($dS)$ до точки $A$, $a_0$ - амплитуда колебания света в месте нахождения элемента $dS$. $K$ - коэффициент, зависящий от угла $\varphi $ между нормалью $\overrightarrow{n}$ к площадке $dS$ и направлением от нее к точке $4А$. Если $\varphi =0,\ $то мы имеем $K=K_{max}$, при$\ \ \varphi =\frac{\pi }{2}$ $K=0.$

Суммарное колебание в точке А находится как суперпозиция колебаний, которые берутся для всей волновой поверхности $S$, то есть:

Формула (2) является интегральной формулировкой принципа Гюйгенса - Френеля.

Трактовка принципа Гюйгенса - Френеля

Френель искусственное предположение Гюйгенса об огибающей вторичных волн, заменил четким физическим положением, по которому вторичные волны, складываясь, интерферируют. При этом свет виден в максимумах интерференции, там, где волны взаимно гасят друг друга, имеется темнота. Так, объяснен физический смысл огибающей. К огибающей вторичные волны подходят в одинаковых фазах, поэтому интерференция вызывает большую интенсивность света. Принцип Гюйгенса - Френеля поясняет отсутствие обратной волны. Вторичные волны, которые распространяются от волнового фронта вперед, идут в свободное от возмущения пространство. При этом они интерферируют только между собой. Вторичные волны, которые идут назад, попадают в пространство, где уже присутствует прямая волна, так вторичные волны гасят прямую волну, следовательно, после прохождения волны пространство на ней не имеет возмущений.

В формулировке Рэлея рассматриваемый принцип означает, что волна, которая отделилась от своего источника, далее существует автономно, не зависит от присутствия источников.

Принцип Гюйгенса - Френеля позволяет объяснить явление дифракции.

Пример 1

Задание: Запишите выражение для напряженности электрического поля ($E$) в волне, если считать, что волна сферическая и распространяется свободно.

Решение:

Рисунок 2.

Рассмотрим свободное распространение сферической волны в однородной среде (рис.2), его можно описать, используя уравнение:

Вспомогательной волновой поверхностью в нашем случае является поверхность S, имеющая радиус $r_0$. По утверждению Френеля каждый элемент этой поверхности ($dS$) испускает вторичную сферическую волну. При этом волновое поле, испускаемое элементом $dS$ в точке $А$ найдем как:

Используя гипотезу Френеля имеем:

где $K\left(\alpha \right)$ - функция, зависящая от длины волны и угла между нормалью к фронту волны и направлением распространения вторичной волны (рис.2).

Полное волновое поле в точке $А$ представим интегралом:

Примем в качестве элемента $dS$ площадь кольца, которое вырезается из волнового фронта двумя бесконечно близкими концентрическими сферами центры которых находятся в точке $А$ (рис.2). В таком случае, можно записать, что:

В качестве переменной интегрирования примем расстояние $r_1.$ Величины $r_0$ и $r$ считаем постоянными. Из треугольника $DOA$ найдем:

\[{r_1}^2={r_0}^2+{\left(r_0+r\right)}^2-2r_0\left(r_0+r\right)cos\beta \left(1.6\right).\]

Продифференцируем выражение (1.6), имеем:

Подставим выражение (1.7) для $dS$ в формулу (1.4), получим:

где функцию $K\left(\alpha \right)\ \ рассматриваем\ как$ функцию $r_1$. При этом $r_{max}=r+2r_0.$

Ответ: $E=\frac{2\pi A_0}{\left(r_0+r\right)}e^{i\left(\omega t-kr_0\right)}\int\limits^{r_{max}}_r{K\left(r_1\right)e^{-ikr_1}}dr_1.$

Пример 2

Задание: Как используя принцип Гюйгенса - Френеля объяснить явление дифракции?

Решение:

Допустим, что плоская волна падает на экран перпендикулярно отверстию в нем. Согласно принципу Гюйгенса - Френеля каждая точка участка, волнового фронта, который выделяется отверстием в экране, становится источником вторичных волн. Если среда является однородной и изотропной вторичные волны являются сферическими. При построении огибающей вторичных волн для фиксированного момента времени получится, что фронт волы заходит в область геометрической тени, что означает, что волна огибает отверстие.

Принципы Гюйгенса-Френеля стали основой корпускулярно-волновой теории света. В начале XIX века Христиан Гюйгенс, делая опыты над световыми волнами, предположил, что существуют частицы, являющиеся переносчиками «световой энергии». Этот процесс представлялся ему как последовательная передача энергии от одной корпускулы к следующей путем соударения. Ученые, которые поддерживали эту теорию, утверждали, что свет движется эфире, среде с особыми физическими свойствами, позволяющими частицам не терять энергию при движении. Этот эфир пронизывает все окружающее пространство, а также проходит сквозь предметы, позволяя световым волнам распространяться во все стороны.

Основы теории

То, на чем базировались принципы Гюйгенса-Френеля, можно сформулировать следующим образом: распространение света заключается в том, что световое возбуждение, исходящее от источника света, передается соседним точкам в пространстве, которые генерируют вторичные световые волны и передают их соседним точкам. Поля распространения вторичных волн от соседних точек накладываются друг на друга усиливаясь или затухая. Подтверждением это теории служат дифракция, интерференция, дисперсия и отражение, которые будут подробнее рассмотрены ниже.

Интерференция

Когда две световые волны накладываются друг на друга, они могут либо выступить в роли усиливающего фактора, либо ослабить колебания друг друга. Открытие этого явления произошло за семнадцать лет до формулирования принципа Гюйгенса, в 1801 году Томасом Юнгом, англичанином, врачом по образованию. Ученый заметил, что если на картоне проколоть два очень маленьких отверстия рядом друг с другом и поставить этот экран на пути узконаправленного пучка световых волн, например щели в занавеске, то на стене позади экрана вместо ожидаемых двух светлых пятен будет несколько светлых и темных колец. Для того чтобы опыт был успешным, необходимо всего одно условие - световые волны должны быть согласованы в своих колебаниях.

Дифракция

Световая волна, проходя через аэрозоли, жидкости или твердые тела, может отклоняться от прямолинейной оси движения. Это явление называется дифракцией. Его используют в оптических приборах для получения четкого изображения даже наименьших предметов, или объектов, находящихся на значительном расстоянии.

Одновременно с Гюйгенсом, в 1818 году, Френель сделал презентацию доклада о дифракции Парижскому научному обществу. Его опыт и теоретические выкладки были одобрены, а один из членов комиссии, физик Пуассон, на основе этой теории сделал заключение, что если поставить на пути дифракционно отклоненных лучей непрозрачное круглое препятствие, то на экране будет отражаться светлое пятно, а не тень предмета. Позднее это предположение было проверено опытным путем физиком Д.Ф. Араго. Дифракция света (принцип Гюйгенса-Френеля) нашла свое подтверждение через, казалось бы, противоречащую гипотезу. Волновая теория света заняла свое место среди других верифицированных постулатов физики.

Дисперсия

Помимо дифракции и интерференции принципы Гюйгенса-Френеля включают в себя и явление дисперсии. По сути, это разложение пучка света на отдельные волны после прохождения через аэрозоль, жидкость или твердое тело. Это явление было открыто еще Исааком Ньютоном во время опытов с призмой. Расщепление света можно объяснить тем, что белый луч состоит из световых волн различной длины. Проходя через препятствие, свет отражается под разным углом, так как коэффициент отражения находится в прямой зависимости от длины волны. Из-за этого волны одной длины формируют отдельные пучки, которые мы воспринимаем в разном цветовом спектре: от красного до фиолетового.

Поляризация

Объяснить этот физический принцип довольно сложно. Для больше наглядности можно использовать опыт прохождения света между двумя призмами. Суть его состоит в том, что если твердые прозрачные тела ориентированы одинаково, то свет проходит через них, не теряя своей яркости, если же поставить их перпендикулярно друг другу, то луч не будет проходить. Это объясняется тем, какой вектор направленности имеют световые волны. Если он совпадает с плоскостью, на которой расположен кристалл, то ослабления не происходит, а если не совпадает, то луч света становится менее ярким или вообще не проходит через предмет, ввиду того, что часть волн гасится.

Отражение

Если на пути световой волны возникает твердое или жидкое тело, то она полностью или частично отражается он него. Таким образом, мы можем видеть окружающие нас предметы. Когда световая волна достигает границы раздела сред (например, газ/жидкость или газ/твердое тело), то она полностью или частично отражается обратно. Угол, который образует между лучом света и перпендикуляром, опушенным на поверхность (границу фаз), называется углом падения, а тот, который находится между перпендикуляром и отраженным лучом - углом отражения.

Законы отражения:

Падающий и отраженный лучи и перпендикуляр существуют в одной плоскости.
Угол падения равен углу отражения.
Ход световых лучей обратим.

Диффузное и зеркальное отражение

В зависимости от типа поверхности, от которой отражается луч, можно выделить зеркальное и диффузное отражение. Зеркальным называется отражение, которое наблюдается от очень гладкой поверхности, когда неровности не превышают длину волны. Тогда отраженный луч будет параллелен падающему. Это встречается в зеркалах, стеклах, полированном металле. Если неровности поверхности больше длины световой волны, то отраженные лучи направлены под разными углами относительно угла падения. Именно из-за этого мы можем видеть предметы, которые сами не являются источниками света. Впервые прийти к такому умозаключению помог принцип Гюйгенса. Закон отражения света получил математическое и практическое обоснование, опираясь на уже известные понятия интерференции и дифракции.

Практическое применение

Принципы Гюйгенса-Френеля легли в основу проектирования оптических приборов, а также стали базисом корпускулярно-волновой теории света. Англичанин Д. Табор, лауреат Нобелевской премии по физике, используя этот закон, изобрел голографию. Хотя практическое ее воплощение стало возможно только с внедрением в массовое пользование узконаправленных интенсивных источников света - лазеров. По сути, голограмма - это запечатленная на фотопластинке картина интерференции, образующаяся световыми волнами, которые усиливают и ослабляют друг друга, отражаясь от предмета под разными углами.

Методика такого запечатления трехмерного изображения находит применение в сфере хранения информации, потому что на небольшой поверхности голограммы помещается большее количество данных, чем на микрофотографиях. В качестве наглядного примера можно привести расположение энциклопедического словаря объемом в тысячу триста страниц на фотопластинке 3х3 см.

В разработке находятся такие приборы, как голографический электронный микроскоп, позволяющий создавать трехмерные изображения наименьших структурных единиц живой материи, а также голографическое кино и телевидение, первыми версиями которого являются 3D-киносеансы.

Дифракция света – в узком, но наиболее употребительном смысле – огибание лучами света границы непрозрачных тел (экранов); проникновение света в область геометрической тени. Наиболее рельефно дифракция света проявляется в областях резкого изменения плотности потока лучей: вблизи каустик, фокуса линзы, границ геометрической тени и др. дифракция волн тесно переплетается с явлениями распространения и рассеяния волн в неоднородных средах.

Дифракцией называется совокупность явлений , наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями, размеры которых сравнимы с длиной волны, и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики .

Огибание препятствий звуковыми волнами (дифракция звуковых волн) наблюдается нами постоянно (мы слышим звук за углом дома). Для наблюдения дифракции световых лучей нужны особые условия, это связано с малой длиной световых волн.

Между интерференцией и дифракцией нет существенных физических различий. Оба явления заключаются в перераспределении светового потока в результате суперпозиции волн.

Явление дифракции объясняется с помощью принципа Гюйгенса , согласно которому каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн , а огибающая этих волн задает положение волнового фронта в следующий момент времени.

Пусть плоская волна нормально падает на отверстие в непрозрачном экране (рис. 9.1). Каждая точка участка волнового фронта, выделенного отверстием, служит источником вторичных волн (в однородной изотопной среде они сферические).

Построив огибающую вторичных волн для некоторого момента времени, видим, что фронт волны заходит в область геометрической тени, т.е. волна огибает края отверстия.

Принцип Гюйгенса решает лишь задачу о направлении распространения волнового фронта, но не затрагивает вопроса об амплитуде и интенсивности волн, распространяющихся по разным направлениям.

Решающую роль в утверждении волновой природы света сыграл О. Френель в начале XIX века. Он объяснил явление дифракции и дал метод ее количественного расчета. В 1818 году он получил премию Парижской академии за объяснение явления дифракции и метод его количественного расчета.

Френель вложил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции вторичных волн.

При рассмотрении дифракции Френель исходил из нескольких основных положений, принимаемых без доказательства. Совокупность этих утверждений и называется принципом Гюйгенса–Френеля.

Согласно принципу Гюйгенса , каждую точку фронта волны можно рассматривать как источник вторичных волн.

Френель существенно развил этот принцип.

· Все вторичные источники фронта волны, исходящей из одного источника, когерентны между собой.

· Равные по площади участки волновой поверхности излучают равные интенсивности (мощности).

· Каждый вторичный источник излучает свет преимущественно в направлении внешней нормали к волновой поверхности в этой точке. Амплитуда вторичных волн в направлении, составляющем угол α с нормалью, тем меньше, чем больше угол α, и равна нулю при .

· Для вторичных источников справедлив принцип суперпозиции: излучение одних участков волновой поверхности не влияет на излучение других (если часть волновой поверхности прикрыть непрозрачным экраном, вторичные волны будут излучаться открытыми участками так, как если бы экрана не было).

Используя эти положения, Френель уже мог сделать количественные расчеты дифракционной картины.

Гюйгенсом было сформулировано предположение, согласно которому каждая точка фронта волны, созданной каким-либо первичным источником, является вторичным источником сферической волны. Это предположение называют принципом Гюйгенса .

Под фронтом волны обычно понимают поверхность, отделяющую область, в которой в данный момент времени уже имеют место электромагнитные колебания, от области, в которую волна еще не успела распространиться. При описании распространяющихся монохроматических электромагнитных волн часто вместо термина поверхность равных фаз используют термин фронт волны, что, строго говоря, не совсем корректно.

Пусть известна поверхность S 1(рис. 1.24), на которой фаза функции, характеризующей волну, в момент t = t0 равна некоторому значению Ψ0. В следующий момент времени t = t0 + Δt поверхность, соответствующая значению фазы Ψ0, уже не будет совпадать с S1. Для определения этой новой поверхности, согласно принципу Гюйгенса, нужно каждую точку поверхности S1 принять за центр сферы радиуса r0 = cΔ t, где с – скорость распространения волны. Тогда поверхность S2 (рис. 1.24), огибающая семейство построенных таким образом сфер, проведенная с учетом направления распространения волны, будет искомой поверхностью, на которой фаза в момент t = t0+ Δt равна Ψ0.

Рис.1.24. Поверхности S1 и S2

Принцип Гюйгенса справедлив для любых волновых процессов и позволяет проследить за перемещением фронта волны или поверхности равных фаз, начиная с момента времени, в который являются известными фронт волны, или, соответственно, ПРФ. Математическая формулировка принципа Гюйгенса впервые была дана Кирхгофом. Поэтому указанный принцип обычно называют принципом Гюйгенса-Кирхгофа.

Принцип Гюйгенса-Кирхгофа позволяет находить поле и в том случае, когда поверхность, окружающая источники, не совпадает с поверхностью равных фаз. При этом, конечно, необходимо учитывать распределение фаз эквивалентных источников.

Принцип Гюйгенса-Кирхгофа широко применяется при расчете диаграмм направленности различных излучающих систем СВЧ диапазона. Основные типы антенн этого диапазона: щелевые, рупорные и зеркальные (схематически изображенные на рис. 1.25, а, б, в, соответственно) можно представить в виде замкнутой поверхности, одна часть которой (S0) является металлической, а другая (SΣ)представляет собой поверхность раскрыва (через нее электромагнитная энергия излучается в окружающее пространство). Поле на SΣ обычно известно с той или иной степенью точности, и его можно заменить распределением эквивалентных источников.

Рис.1.25. Основные типы антенн СВЧ диапазона: а) щелевая; б) рупорная; в) зеркальная

Кроме того, при приближенных расчетах часто пренебрегают затеканием электрических токов на внешнюю поверхность антенны, т.е. предполагают, что на поверхности S0 отсутствуют также электрические токи:

В таком приближении поле в дальней зоне определяется только эквивалентными поверхностными электрическими и магнитными токами или, что то же самое, касательными составляющими векторов и на поверхности SΣ.

При вычислении поля можно воспользоваться принципом суперпозиции: разбить поверхность SΣ на элементарные площадки ΔS, найти поле, создаваемое эквивалентными токами каждой площадки, а затем просуммировать полученные результаты.

Сформулируйте принцип Гюйгенса-Френеля. 1. все вторичные источники фронта волны, исходящий из одного источника, когерентны между собой; 2. для вторичных источников справедлив принцип суперпозиции; 3. Равные по площади участки волновой поверхности излучают равные интенсивности при расчете амплитуды световых колебаний, возбуждаемых источником S 0 в произвольной точке М, источник S 0 можно заменить эквивалентной ему системой вторичных источников – малых участков dS любой замкнутой вспомогательной поверхности S, проведенной так, так чтобы она охватывала источник S 0 и не охватывала рассматриваемую точку М

вторичные источники когерентны S 0 между собой, поэтому возбуждаемые ими вторичные волны интерферируют при наложении
Амплитуда dA колебаний, возбуждаемых в точке М вторичным источником, пропорциональна отношению площади dS соответствующего участка волной поверхности S к расстоянию r от него до точки М и зависит от угла между внешней нормалью к волновой поверхности и направлением от элемента dS в точку М.
Если часть поверхности S занята непрозрачными экранами, то соответствующее вторичные источники не излучают, а остальные излучают также, как и в отсутствии экранов.

Принцип Гюйгенса-Френеля. Суть его заключается в следующим: для каждой конкретной задачи следует определенным способом разбить фронт волны на участки (зоны Френеля), которые рассматриваются как самостоятельные одинаковые источники волн; амплитуда (и интенсивность) волны в точке наблюдения определяется как результат интерференции от волн, которые якобы создаются отдельными зонами.

Объясните попадание света в область геометрической тени с помощью принципа Гюйгенса. Каждая точка, выделяемого отверстием участка волнового фронта, служит источником вторичных волн, которая огибает края отверстия Каждая точка, выделяемого отверстием участка волнового фронта, служит источником вторичных волн, которая огибает края отверстия.

Что такое дифракция? Явление отклонения световых волн от прямолинейного распространения при прохождении отверстий и вблизи краёв экранов называется дифракцией (огибание светом встречных препятствий). Явление отклонения световых волн от прямолинейного распространения при прохождении отверстий и вблизи краёв экранов называется дифракцией (огибание светом встречных препятствий).совокупность явлений наблюдаемых при распространении света в среде с резкими неоднородностями, размеры которых сравнимы с длиной волны, и связанных с отклонениями от законов геометрической оптики

Дайте определение дифракции Френеля и дифракции Фраунгофера. если дифракционная картина наблюдается на конечном расстоянии от предмета, вызывающего дифракцию и надо учитывать кривизну волнового фронта, то говорят о дифракции Френеля . При дифракции Френеля на экране наблюдается дифракционное изображение препятствия;

если же волновые фронты плоские (лучи параллельные) и дифракционная картина наблюдается на бесконечно большом расстоянии (для этого используют линзы), то речь идет о дифракции Фраунгофера .

В чем заключается метод зон Френеля? Разбиение волновой поверхности S на зоны, границы первой (центр) зоны служат точки поверхности S наход на расстоянии l+λ\2 от точки M. Точки сферы наход на расстоянии l+2λ\2, l+3λ\2 от точки M, образ зоны Френеля. При наложении этих колебаний они взаимно ослаб друг друга A=A 1 -A 2 +A 3 -A 4 …+A i С увелич номера зоны,уменьш интенсивность излучения зоны в насправлении т.M, т.е уменьш A i A 1 >A i >A 3 …>A i

Почему в методе зон Френеля они выбираются таким образом, чтобы расстояния от соседних зон различались на /2? /2-разность хода. Колебания, возбуждаемые в точке Р, между двумя соседними зонами, противоположны по фазе

А м = (А м-1 +А м+1)/2; А=А 1 /2

Что собой представляет дифракционная решетка? Дифракционная решётка - оптический прибор, работающий по принципу дифракции света, представляет собой совокупность большого числа регулярно расположенных штрихов (щелей, выступов), нанесённых на некоторую поверхность. Первое описание явления сделал Джеймс Грегори, который использовал в качестве решётки птичьи перья.

Что такое период дифракционной решётки? Расстояние, через которое повторяются штрихи на решётке, называют периодом дифракционной решётки. Обозначают буквой d. Если известно число штрихов (N ), приходящихся на 1 мм решётки, то период решётки находят по формуле: 0,001 / N

Почему при прохождении света через дифракционную решетку естественный свет разлагается в спектр? Положение главных максимумов зависит от длины волны λ, поэтому при пропускании через решетку белого света все максимумы кроме центрального(m=0), разложится в спектр, фиолет область которого будет обращена к центру дифрак картины, красная наружу.

Что называется разрешающей способностью дифракционной решётки? Разреш-я спос-сть решетки оказ-ется равной R = mN. Таким образом, разрешающая способность решетки зависит от порядка m спектра и от общего числа N штрихов рабочей части решетки, т.е. той части, через которую проходит исследуемое излучение и от которой зависит результирующая дифракционная картина. Разреш способ-тью / дифракционной решетки характеризует способность решетки разделять максимумы освещенности, для двух близких длинам волн  1 и  2 в данном спектре. Здесь   2 – 1 . Если /kN, то максимумы освещенности для  1 и  2 не разрешаются в спектре k–го порядка.